применение вычетов к вычеслению интегралов

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3

Глава 1. Основы теории вычетов 7

1.1 Основные понятия. Теорема Лорана 7

1.2 Определение и способы вычисления вычетов 10

1.3 Основная теорема теории вычетов. 11

Глава 2. Приложения теории вычетов к вычислению интегралов 13

2.1 Вычисление интегралов тригонометрических функций 13

2.2 Вычисление несобственных интегралов 16

2.2.1 Леммы Жордана 16

2.2.2 Интегралы первого типа 17

2.2.3 Интегралы второго типа 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 25

ВВЕДЕНИЕ

Понятие интеграла относится к фундаментальным понятиям математики, при этом оно достаточно сложно. Следует отметить, что вычисление интегралов имеет важное практическое значение, как в математике, так и в физике, особенно это касается определенных и несобственных интегралов. Перечислим некоторые области применения интегралов в математике:

1. Вычисление площади плоской фигуры. Площадь плоской фигуры можно рассматривать, как составную из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ox и оси Oy . Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где a

Таким образом, вычисление площади фигуры разбивается на ряд подзадач, причем среди подзадач возможны варианты: а) Фигура расположена над осью Ox и ограничена осью Ox, кривой y=f(x) и двумя прямыми x=a и x=b. б) Фигура расположена под осью Ox и ограничена осью Ox, кривой y=f(x) и двумя прямыми x=a и x=b . в) Фигура расположена над и под осью Ox и ограничена осью Ox, кривой y=f(x) и двумя прямыми x=a и x=b г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми y=f(x) и y=φ(x)

2. Вычисление объема тела с известными параллельными сечениями. Возьмем тело объёмом V, и пусть у нас имеется некая прямая такая, что нам известна площадь S сечения тела любой плоскостью, которая перпендикулярна данной прямой. Если плоскость перпендикулярна оси Ох, следовательно, она пересекает ось в некоторой точке х. И каждому числу х (из отрезка (а;b),) соответствует единственное число S(х) - площадь сечения тела этой плоскостью. То есть, мы можем сказать, что на отрезке (а;b) задана функция S(х). При условии непрерывности функции S на отрезке (а;b), имеем формулу V=∫_a^b▒〖S (x)dx〗 (0.3).

Рассмотрим некоторые случаи использования интегралов в физике.

1. Вычисление пути, пройденного точкой. Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью v=f(t)≥0 за промежуток времени от t1 до t2 вычисляется по формуле S=∫_(t_1)^(t_2)▒〖f(t)dt〗 (0.4).

2. Вычисление работы силы. Работа, произведенная переменной силой f(t) при перемещении по оси Ох материальной точки от x=a до x=b, находится по формуле A=∫_a^b▒〖f(x)dx〗 (0.5 ). Для вычисления работы силы иногда бывает полезен закон Гука: F=kx (6) где F — сила, измеряемая в ньютонах (Н); х—абсолютное удлинение пружины в результате воздействия силы F, измеряемое в метрах (м), а k —коэффициент пропорциональности, с размерностью ньютоны на метр (Н/м).

3. Вычисление силы давления жидкости. Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Величина давления жидкости на горизонтальную площадку в ньютонах (Н) вычисляется по формуле P =gρSx (0.6), где S в метрах квадратных (м2) - площадь площадки, х в метрах (м) - глубина погружения площадки, g=9,807 в метрах на секунду в квадрате (м/с2) - ускорение свободного падения, а ρ в килограммах на метр кубический (кг/м3), - плотность жидкости.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения P (x).

4. Длина дуги. Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y =f(x) , x∈(a,b) причем f(x)— непрерывна на промежутке (а,b).

Тогда для вычисления длины дуги используют формулу:

s=∫_a^b▒〖√(1+〖(f'(x))〗^2 ) dx〗 (0.7)

где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В.

При параметрическом задании кривой

l:{█(x=φ(t),@y=ψ(t),)┤

где t∈(a,b) , вычисление проводят по следующей формуле

s=∫_a^b▒√((φ'(t))^2+〖(ψ'(t))〗^2 ) dt (0.8)

6. Центр масс. При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

Координата х’ центра масс системы материальных точек А1, А2 ,..., Аn с массами соответственно m1, m2, ..., mn, и координатами на прямой х1, х2, ..., хn, находятся по формуле:

x^'=(m_1 x_1+m_2 x_2+⋯+m_n x_n)/(m_1+m_2+⋯+m_n ) (0.9)

При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.

Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой (0.9).

Актуальность исследования:

Учитывая важное практическое значение интегрального исчисления в различных областях математики и физики, изучение различных методов вычисления интегралов (в том числе и при помощи вычетов) представляет большой интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Основная цель данной работы - изучить метод использования вычетов для вычисления различных интегралов.

Задачи исследования:

1 Рассмотреть основные понятия теории вычетов.

2 Изучить применение вычетов для вычисления интегралов различных видов .